2 Boyutlu Uzayda Vektörler
Vektör nedir? Vektör içinde birden fazla sayı tanımlanan ve tanımlanmış sayıların işaretinin her zaman anlamlı olduğu matematiksel objelerdir. Bu sayılar objenin yönü ve boyutu belirler. Hız, kuvvet gibi değerler vektörlerle tanımlanır. Bu yazımda ileride işleyeceğimiz konulara yardımcı olması için sadece 2 boyutlu vektörleri anlatacağım. 2 boyutlu vektörlerin ilk elemanına x, ikinci elemanına y olarak isimlendireceğim.
$$\begin{bmatrix}x_1 \\\ y_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.0 \\\ 10.0 \end{bmatrix}$$
Vektörlerin Karakteristiği
Vektörlerin Uzunluğu
Vektörün uzunluğu veya büyüklüğü bir vektörün karakterini belirten temel iki değerden biridir. Vektörün uzunluğu vektörün x değerinin karesi ile y değerinin karesi toplanır, çıkan sonucun kare kökü alınır.
$$\begin{bmatrix}30.0 \\\ 40.0 \end{bmatrix}$$
$$\sqrt[\leftroot{2}]{x_1^2 + y_1^2} = l$$
$$\sqrt[\leftroot{2}]{ 30.0^2 + 40.0^2} = 50.0$$
Vektörün açısı, yönü
Vektörün karakterini belirleyen diğer bileşen vektörün açısı yani yönüdür. Basit bir trigonometrik işlemle vektörün açısını bulabiliriz.
$$\begin{bmatrix}30.0 \\\ 40.0 \end{bmatrix}$$
$$arctan(y/x) = q$$
$$arctan(40.0/30.0) = 0.927 $$
$$ = 0.295 * \pi $$
Arctan işleminin görüntü kümesi ile arasındadır. Bu bizim için problemdir. Şöyleki gerçekte açısı vektöre arctan işlemi uyguladığımızda bize sonucunu verecektir. Bunu engellemek için yeni bir arctan2 adında fonksion tanımlayalım. Bu fonksiyonda için arctan işlemine x ve y bileşenlerinin işaretine göre pi eklenip çıkartırız. Böylece işlemin görüntü kümesini ile getiririz ki bu da tam yuvarlaktır.
$$-\pi/2$$
$$+\pi/2$$
$$5/4\pi$$
$$1/4\pi$$
$$-\pi$$
$$+\pi$$
$$arctan2(y,x)= $$
$$ \begin{cases} arctan(y/x),& \text{eğer } x\gt 0\\ arctan(y/x) + \pi,& \text{eğer } x\lt 0 \text{ ve } y \geqslant 0\\ arctan(y/x) - \pi,& \text{eğer } x\lt 0 \text{ ve } y \lt 0\\ \pi/2,& \text{eğer } x = 0 \text{ ve } y \lt 0\\ -\pi/2,& \text{eğer } x = 0 \text{ ve } y \gt 0\\ tanımsız,& \text{eğer } x = 0 \text{ ve } y = 0\\ \end{cases} $$
$$\begin{bmatrix}30.0 \\\ 40.0 \end{bmatrix}$$
$$arctan2(y,x) = q$$
$$1\text{. koşul }$$
$$arctan2(40.0,30.0) = 0.927$$
$$ = 0.295 * \pi $$
Birim Vektör
Vektörün uzunluğunu 1 birime getirme işlemidir. Bu işlemden sonra vektörün anlamlı olarak sadece yön karakteri kalır.
$$\begin{bmatrix}2.0 \\\ 1.0 \end{bmatrix}$$
$$\sqrt[\leftroot{2}]{x_1^2 + y_1^2} = l$$
$$\sqrt[\leftroot{2}]{ 2.0^2 + 1.0^2} = 2.2$$
$$\begin{bmatrix}2.0 \\\ 1.0 \end{bmatrix} / 2.2 = \begin{bmatrix}2.0 / 2.2 \\\ 1.0 / 2.2 \end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix} x_2 \\\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.9 \\\ 0.4 \end{bmatrix}$$
Vektörel Operatörler
Vektörlerin toplanması
2 boyutlu vektörler toplanırken ilk vektörün x değeri ile ikinci vektörün x değeri toplanır ve toplam vektörün x bileşenine yazılır. Aynı işlem y bileşeni için de uygulanır. 2 vektörün toplamıda bir vektördür.
$$\begin{bmatrix}x_1 \\\ y_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}x_2 \\\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_t \\\ y_t \end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix}-24.0 \\\ 16.0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}48.0 \\\ 25.0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}24.0 \\\ 24.0 \end{bmatrix}$$
Vektörün Skaler Sayı ile Çarpımı
Bir vektörle bir vektörün skaler çarpımı demek vektörün her elemanın o skaler sayı ile çarpılıp çıkan değerlerlerle yeni bir vektör yazılması demektir. Skaler sayı ile vektörün çarpımı sonucunda vektör elde edilir.
$$\begin{bmatrix} x_1 \\\ y_1 \end{bmatrix} * a = \begin{bmatrix} x_1 * a \\\ y_1 * a \end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix}15.0 \\\ 20.0 \end{bmatrix} * 1.5 = \begin{bmatrix}22.5 \\\ 30.0 \end{bmatrix}$$
$$θ(a)=$$
2 vektörün skaler çarpımı ve 2 vektör arasındaki açı
2 Vektörün skaler çarpımı vektörlerin x'lerinin ve y'lerinin ayrı ayrı çarpılıp toplanması ile elde edilir.
$$\vec{A} = \begin{bmatrix} x_1 \\\ y_1 \end{bmatrix}$$
$$\vec{B} = \begin{bmatrix} x_2 \\\ y_2 \end{bmatrix}$$
$$ \vec{A} \cdot \vec{B} = x_1 * x_2 + y_1 * y_2$$
Skaler çarpımdan aralarındaki açının cosinüs'ünü bulmak mümkündür.
$$ \vec{A} \cdot \vec{B} = \mid\vec{B}\mid \cdot \mid\vec{A}\mid \cdot \cos{\alpha}$$
$$ \dfrac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{\mid\vec{B}\mid \cdot \mid\vec{A}\mid} = \cos{\alpha}$$
$$ \alpha = arccos{\left(\dfrac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{\mid\vec{B}\mid \cdot \mid\vec{A}\mid}\right)}$$
$$\vec{A} = \begin{bmatrix} x_1 \\\ y_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20.0 \\\ -20.0 \end{bmatrix}$$
$$\mid\vec{A}\mid = 28.3 $$
$$\vec{B} = \begin{bmatrix} x_2 \\\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -20.0 \\\ -20.0 \end{bmatrix}$$
$$\mid\vec{B}\mid = 28.3 $$
$$ \vec{A} \cdot \vec{B} = x_1 * x_2 + y_1 * y_2 \\$$
$$ = 20.0 * (-20.0) + (-20.0) * (-20.0) = 0.0 $$
2 vektörün çapraz çarpımı
Çapraz çarpım, çarptığımız iki vektörede dik yeni bir vektör bulmamızı sağlar. 2. boyutta 2 farklı vektöre de dik başka bir vektör yazamayız. Normalde bunun için 3. boyutuda kullanmamız gerekir. İki farklı 3 boyutlu z bileşeni sıfır olan vektörü çapraz çarptığımızı düşünelim. Çıkan sonuç x ve y'si sıfır sadece z'si olan bir vektördür. 2. boyutlu çapraz çarpımlarda da bu çarpım sonucu çıkan vektörün sadece z bileşenini aldığımızı düşünebilirsiniz. Böylece normal çapraz çarpımın aksine skaler sayı elde ederiz.
$$\vec{A} = \begin{bmatrix} x_1 \\\ y_1 \end{bmatrix}$$
$$\vec{B} = \begin{bmatrix} x_2 \\\ y_2 \end{bmatrix}$$
$$ \vec{A} \times \vec{B} = x_1 * y_2 - y_1 * x_2$$
Vektörlerin Açısal İşlemleri
Vektörlerin döndürülmesi
Vektörün elemanlarını döndülmek istenen açının sinüsü ve cosinüsü ile çarpıp toplayarak, vektörü döndürebiliriz.
$$ x_1 = 30.0 $$
$$ y_1 = 40.0 $$
$$ x_2 = x_1 * cos(q) - y_1 * sin(q) $$
$$ y_2 = x_1 * sin(q) + y_1 * cos(q) $$
$$ x_2 = 30.0 * cos(0.2 * \pi) - 40.0 * sin(0.2 * \pi) = 0.8$$
$$ y_2 = 30.0 * sin(0.2 * \pi) + 40.0 * cos(0.2 * \pi) = 50.0$$
$$ q = $$
$$ \pi $$
Vektöre dik vektör elde edilmesi
Vektörü ve açısında döndürerek orijinal vektöre dik vektörler elde edebiliriz. , olduğu için x ve y yer değiştirir ve birinin tersi alınır.
$$+\pi/2$$
$$-\pi/2$$
$$sin(\pi/2) = 1$$
$$cos(\pi/2) = 0$$
$$ x_1 = 30.0 $$
$$ y_1 = 40.0 $$
$$ x_2 = x_1 * cos(\pi/2) - y_1 * sin(\pi/2) = - y_1 $$
$$ y_2 = x_1 * sin(\pi/2) + y_1 * cos(\pi/2) = x_1 $$
$$ x_3 = x_1 * cos(-\pi/2) - y_1 * sin(-\pi/2) = y_1 $$
$$ y_3 = x_1 * sin(-\pi/2) + y_1 * cos(-\pi/2) = - x_1 $$
İz düşüm
Bir vektörün bir vektöre iz düşümü, o vektörün diğerine olan katkısını veya bileşenini belirlememizi sağlar. Bir a vektörünün, b vektörü üzerine iz düşümü a'nın b doğrultusunda olan kısmıdır. Bu, b doğrultusuna indirilen dikmenin b yönündeki bileşeni olarak kabul edebiliriz. (a vektörünün diğer bileşeni de b'ye dik olur.)
İz düşüm, a vektörünün, b doğrultusunda gölgesi gibidir. Örnek olarak güneşte dik duran bir çubuğun, güneşin geliş açısına göre iz düşümü aslında gölgesidir.
$$Proj_ba=\left( \frac{a \cdot b}{\left\| b \right\|^{2}} \right) * b$$
Yukarıdaki formülle hesaplanır.
$$Proj_ba = \left( \frac{ (30.0,40.0) \cdot ( 10.0,20.0) }{\left\| ( 10.0,20.0) \right\|^{2} } \right) * \begin{bmatrix}10.0\\20.0\end{bmatrix}$$
$$Proj_ba = 2.20 * \begin{bmatrix}10.0\\20.0\end{bmatrix}$$
$$Proj_ba = \begin{bmatrix}13.2\\17.6\end{bmatrix}$$
Uygulamadan da görebileceğiniz üzere iz düşümün vektörünün boyutunun işlemde önemi yoktur. Yani b vektörünü hangis skaler sayıyla çarparsanız (negatif de olabilir) çarpın izdüşüm sonucu değişmeyecekltir
Kapanış
Yazımızın sonuna geldik. Bu yazı daha çok daha sonra kullanacağımız işlemleri özetlemiş olduk. Diğer yazılarımda sık sık bu sayfaya referansları göreceksiniz. İlgi gösterip buraya kadar okuduğunuz için teşekkür ederim.
linkedin
github